关于现版高中数学（必修第一册）基本不等式相关内容习题的参考解答

作者：罗逸琳

单位：廉中自然科学局第207研究所（2606班）

日期：2026年8月27日

摘要

本文选取现版高中数学（必修第一册）第二章”基本不等式”相关内容中的五道典型习题，每道题均提供两种及以上不同的解法，旨在帮助读者拓宽解题思路，加深对基本不等式变形技巧的理解。本文的理论基础可参考笔者此前发表的《高中常见基本不等式的变形应用》一文 [1]。

关键词：基本不等式；均值不等式；柯西不等式；习题解答；多解法

引用文献

[1] 罗逸琳. 高中常见基本不等式的变形应用[EB/OL]. 廉中自然科学局第207研究所, 2026. https://gitee.com/buelierm/Apart207/

预备知识

本文涉及的核心不等式：

均值不等式：对任意正实数 \(a, b\)，有

\[ \frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \]

当且仅当 \(a = b\) 时等号成立。

柯西不等式（二维形式）：对任意实数 \(a, b, c, d\)，有

\[ (ac + bd)^2 \leq (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) \]

当且仅当 \(\frac{a}{c} = \frac{b}{d}\) 时等号成立。

更多变形技巧请参考文献 [1]。

习题一

题目

已知 \(x > 0,\ y > 0\)，且 \(x + y = 1\)，求 \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}\) 的最小值。

解法一：均值不等式（”1的代换”）

将 \(x + y = 1\) 代入目标式：

\[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{x+y}{x} + \frac{x+y}{y} = 2 + \frac{y}{x} + \frac{x}{y} \]

由均值不等式，\(\dfrac{y}{x} + \dfrac{x}{y} \geq 2\sqrt{\dfrac{y}{x} \cdot \dfrac{x}{y}} = 2\)，当且仅当 \(\dfrac{y}{x} = \dfrac{x}{y}\)，即 \(x = y = \dfrac{1}{2}\) 时等号成立。

因此 \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \geq 2 + 2 = 4\)，最小值为 \(\boldsymbol{4}\)。

解法二：柯西不等式

由柯西不等式：

\[ \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right)(x + y) \geq \left(\sqrt{\frac{1}{x} \cdot x} + \sqrt{\frac{1}{y} \cdot y}\right)^2 = (1+1)^2 = 4 \]

因为 \(x + y = 1\)，所以 \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \geq 4\)。

等号成立条件：\(\dfrac{1/x}{x} = \dfrac{1/y}{y}\)，即 \(x^2 = y^2\)，结合 \(x, y > 0\) 得 \(x = y = \dfrac{1}{2}\)。

最小值为 \(\boldsymbol{4}\)。

解法三：消元法 + 均值不等式

由 \(x + y = 1\) 得 \(y = 1 - x\)，其中 \(0 < x < 1\)。

\[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{x} + \frac{1}{1-x} = \frac{1}{x(1-x)} \]

而 \(x(1-x) \leq \left(\dfrac{x + 1 - x}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4}\)，当且仅当 \(x = 1 - x\)，即 \(x = \dfrac{1}{2}\) 时取等。

因此 \(\dfrac{1}{x(1-x)} \geq 4\)，最小值为 \(\boldsymbol{4}\)。

习题二

题目

已知 \(x > 0\)，求 \(x + \dfrac{4}{x}\) 的最小值。

解法一：均值不等式

直接应用均值不等式：

\[ x + \frac{4}{x} \geq 2\sqrt{x \cdot \frac{4}{x}} = 2\sqrt{4} = 4 \]

当且仅当 \(x = \dfrac{4}{x}\)，即 \(x = 2\)（\(x > 0\)）时等号成立。

最小值为 \(\boldsymbol{4}\)。

解法二：配方法

\[ x + \frac{4}{x} = \left(\sqrt{x} - \frac{2}{\sqrt{x}}\right)^2 + 4 \]

因为 \(\left(\sqrt{x} - \dfrac{2}{\sqrt{x}}\right)^2 \geq 0\)，所以 \(x + \dfrac{4}{x} \geq 4\)。

当且仅当 \(\sqrt{x} = \dfrac{2}{\sqrt{x}}\)，即 \(x = 2\) 时取等。

最小值为 \(\boldsymbol{4}\)。

解法三：导数法

设 \(f(x) = x + \dfrac{4}{x}\)（\(x > 0\)），则

\[ f'(x) = 1 - \frac{4}{x^2} \]

令 \(f'(x) = 0\)，得 \(x^2 = 4\)，即 \(x = 2\)（\(x > 0\)）。

当 \(0 < x < 2\) 时，\(f'(x) < 0\)，\(f(x)\) 单调递减；当 \(x > 2\) 时，\(f'(x) > 0\)，\(f(x)\) 单调递增。

故 \(x = 2\) 为极小值点，也是最小值点，\(f(2) = 2 + \dfrac{4}{2} = 4\)。

最小值为 \(\boldsymbol{4}\)。

习题三

题目

已知 \(a > 0,\ b > 0\)，且 \(a + b = 2\)，求 \(ab\) 的最大值。

解法一：均值不等式

由均值不等式：

\[ ab \leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 = \left(\frac{2}{2}\right)^2 = 1 \]

当且仅当 \(a = b = 1\) 时等号成立。

最大值为 \(\boldsymbol{1}\)。

解法二：消元法 + 二次函数

由 \(a + b = 2\) 得 \(b = 2 - a\)，其中 \(0 < a < 2\)。

\[ ab = a(2-a) = -a^2 + 2a = -(a-1)^2 + 1 \]

这是开口向下的二次函数，当 \(a = 1\) 时取得最大值 \(1\)，此时 \(b = 1\)。

最大值为 \(\boldsymbol{1}\)。

解法三：三角换元

设 \(a = 2\cos^2\theta\)，\(b = 2\sin^2\theta\)，其中 \(\theta \in \left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)\)。

\[ ab = 4\sin^2\theta\cos^2\theta = \sin^2(2\theta) \]

因为 \(\sin^2(2\theta) \leq 1\)，当且仅当 \(2\theta = \dfrac{\pi}{2}\)，即 \(\theta = \dfrac{\pi}{4}\) 时取等，此时 \(a = b = 1\)。

最大值为 \(\boldsymbol{1}\)。

习题四

题目

已知 \(x > 1\)，求 \(x + \dfrac{1}{x-1}\) 的最小值。

解法一：均值不等式（凑项）

将表达式变形为：

\[ x + \frac{1}{x-1} = (x-1) + \frac{1}{x-1} + 1 \]

因为 \(x > 1\)，所以 \(x - 1 > 0\)。由均值不等式：

\[ (x-1) + \frac{1}{x-1} \geq 2\sqrt{(x-1) \cdot \frac{1}{x-1}} = 2 \]

当且仅当 \(x - 1 = \dfrac{1}{x-1}\)，即 \((x-1)^2 = 1\)，\(x = 2\) 时等号成立。

因此 \(x + \dfrac{1}{x-1} \geq 2 + 1 = 3\)，最小值为 \(\boldsymbol{3}\)。

解法二：换元法

令 \(t = x - 1\)，则 \(t > 0\)，\(x = t + 1\)。

\[ x + \frac{1}{x-1} = t + 1 + \frac{1}{t} = \left(t + \frac{1}{t}\right) + 1 \]

由均值不等式，\(t + \dfrac{1}{t} \geq 2\)，当且仅当 \(t = 1\) 时取等，此时 \(x = 2\)。

故最小值为 \(2 + 1 = \boldsymbol{3}\)。

解法三：导数法

设 \(f(x) = x + \dfrac{1}{x-1}\)（\(x > 1\)），则

\[ f'(x) = 1 - \frac{1}{(x-1)^2} \]

令 \(f'(x) = 0\)，得 \((x-1)^2 = 1\)，即 \(x = 2\)（\(x > 1\)）。

当 \(1 < x < 2\) 时，\(f'(x) < 0\)；当 \(x > 2\) 时，\(f'(x) > 0\)。

故 \(x = 2\) 为最小值点，\(f(2) = 2 + \dfrac{1}{2-1} = 3\)。

最小值为 \(\boldsymbol{3}\)。

习题五

题目

已知 \(x > 0,\ y > 0\)，且 \(2x + y = 1\)，求 \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{y}\) 的最小值。

解法一：均值不等式（”1的代换”）

\[ \frac{1}{x} + \frac{2}{y} = \left(\frac{1}{x} + \frac{2}{y}\right)(2x + y) = 2 + \frac{y}{x} + \frac{4x}{y} + 2 = 4 + \frac{y}{x} + \frac{4x}{y} \]

由均值不等式：

\[ \frac{y}{x} + \frac{4x}{y} \geq 2\sqrt{\frac{y}{x} \cdot \frac{4x}{y}} = 2\sqrt{4} = 4 \]

当且仅当 \(\dfrac{y}{x} = \dfrac{4x}{y}\)，即 \(y^2 = 4x^2\)，结合 \(x, y > 0\) 得 \(y = 2x\)。代入 \(2x + y = 1\) 得 \(4x = 1\)，即 \(x = \dfrac{1}{4},\ y = \dfrac{1}{2}\)。

因此 \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{y} \geq 4 + 4 = 8\)，最小值为 \(\boldsymbol{8}\)。

解法二：柯西不等式

由柯西不等式：

\[ \left(\frac{1}{x} + \frac{2}{y}\right)(2x + y) \geq \left(\sqrt{\frac{1}{x} \cdot 2x} + \sqrt{\frac{2}{y} \cdot y}\right)^2 = (\sqrt{2} + \sqrt{2})^2 = (2\sqrt{2})^2 = 8 \]

因为 \(2x + y = 1\)，所以 \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{y} \geq 8\)。

等号成立条件：\(\dfrac{1/x}{2x} = \dfrac{2/y}{y}\)，即 \(y^2 = 4x^2\)，\(y = 2x\)，得 \(x = \dfrac{1}{4},\ y = \dfrac{1}{2}\)。

最小值为 \(\boldsymbol{8}\)。

解法三：消元法

由 \(2x + y = 1\) 得 \(y = 1 - 2x\)，其中 \(0 < x < \dfrac{1}{2}\)。

\[ \frac{1}{x} + \frac{2}{y} = \frac{1}{x} + \frac{2}{1-2x} = \frac{1-2x + 2x}{x(1-2x)} = \frac{1}{x(1-2x)} \]

令 \(f(x) = x(1-2x) = -2x^2 + x = -2\left(x - \frac{1}{4}\right)^2 + \frac{1}{8}\)。

当 \(x = \dfrac{1}{4}\) 时，\(f(x)\) 取得最大值 \(\dfrac{1}{8}\)，此时 \(\dfrac{1}{f(x)}\) 取得最小值 \(8\)。

对应 \(y = 1 - 2 \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}\)。

最小值为 \(\boldsymbol{8}\)。

方法总结

题目	解法一	解法二	解法三	最小值/最大值
习题一	均值不等式（1的代换）	柯西不等式	消元法	4
习题二	均值不等式	配方法	导数法	4
习题三	均值不等式	消元法+二次函数	三角换元	1（最大值）
习题四	均值不等式（凑项）	换元法	导数法	3
习题五	均值不等式（1的代换）	柯西不等式	消元法	8

解题策略建议

“1的代换”：当条件为线性等式（如 \(x + y = 1\)），目标为分式和时，优先考虑将条件式乘入目标式，构造均值不等式。
凑项/换元：当目标式可变形为 \(A + \dfrac{k}{A}\) 的形式时，通过凑项或换元使两项乘积为定值。
柯西不等式：当目标式与条件式可对应为柯西形式时，柯西不等式往往一步到位。
导数法：作为通用方法，适用于所有可导函数，但计算量较大，建议作为验证手段。
消元法：将二元问题化为一元问题，结合二次函数或均值不等式求解。

更多变形技巧的系统总结请参考文献 [1]。

参考文献

[1] 罗逸琳. 高中常见基本不等式的变形应用[EB/OL]. 廉中自然科学局第207研究所, 2026.