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title: 关于现版高中数学（必修第一册）基本不等式相关内容习题的参考解答
author: 罗逸琳
date: 2026-08-27
weight: 10
tags: [不等式, 高中数学, 习题解答, 均值不等式, 柯西不等式]
description: 本文针对现版高中数学必修第一册中基本不等式相关内容的典型习题，提供多种解法参考，涵盖均值不等式、柯西不等式、换元法、导数法等解题路径。
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**作者**：罗逸琳

**单位**：廉中自然科学局第207研究所（2606班）

**日期**：2026年8月27日

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## 摘要

本文选取现版高中数学（必修第一册）第二章"基本不等式"相关内容中的五道典型习题，每道题均提供两种及以上不同的解法，旨在帮助读者拓宽解题思路，加深对基本不等式变形技巧的理解。本文的理论基础可参考笔者此前发表的《高中常见基本不等式的变形应用》一文 [1]。

**关键词**：基本不等式；均值不等式；柯西不等式；习题解答；多解法

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## 引用文献

[1] 罗逸琳. 高中常见基本不等式的变形应用[EB/OL]. 廉中自然科学局第207研究所, 2026. https://gitee.com/buelierm/Apart207/

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## 预备知识

本文涉及的核心不等式：

**均值不等式**：对任意正实数 $a, b$，有

$$
\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}
$$

当且仅当 $a = b$ 时等号成立。

**柯西不等式**（二维形式）：对任意实数 $a, b, c, d$，有

$$
(ac + bd)^2 \leq (a^2 + b^2)(c^2 + d^2)
$$

当且仅当 $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$ 时等号成立。

更多变形技巧请参考文献 [1]。

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## 习题一

### 题目

已知 $x > 0,\ y > 0$，且 $x + y = 1$，求 $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}$ 的最小值。

### 解法一：均值不等式（"1的代换"）

将 $x + y = 1$ 代入目标式：

$$
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{x+y}{x} + \frac{x+y}{y} = 2 + \frac{y}{x} + \frac{x}{y}
$$

由均值不等式，$\dfrac{y}{x} + \dfrac{x}{y} \geq 2\sqrt{\dfrac{y}{x} \cdot \dfrac{x}{y}} = 2$，当且仅当 $\dfrac{y}{x} = \dfrac{x}{y}$，即 $x = y = \dfrac{1}{2}$ 时等号成立。

因此 $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \geq 2 + 2 = 4$，最小值为 $\boldsymbol{4}$。

### 解法二：柯西不等式

由柯西不等式：

$$
\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right)(x + y) \geq \left(\sqrt{\frac{1}{x} \cdot x} + \sqrt{\frac{1}{y} \cdot y}\right)^2 = (1+1)^2 = 4
$$

因为 $x + y = 1$，所以 $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \geq 4$。

等号成立条件：$\dfrac{1/x}{x} = \dfrac{1/y}{y}$，即 $x^2 = y^2$，结合 $x, y > 0$ 得 $x = y = \dfrac{1}{2}$。

最小值为 $\boldsymbol{4}$。

### 解法三：消元法 + 均值不等式

由 $x + y = 1$ 得 $y = 1 - x$，其中 $0 < x < 1$。

$$
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{x} + \frac{1}{1-x} = \frac{1}{x(1-x)}
$$

而 $x(1-x) \leq \left(\dfrac{x + 1 - x}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4}$，当且仅当 $x = 1 - x$，即 $x = \dfrac{1}{2}$ 时取等。

因此 $\dfrac{1}{x(1-x)} \geq 4$，最小值为 $\boldsymbol{4}$。

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## 习题二

### 题目

已知 $x > 0$，求 $x + \dfrac{4}{x}$ 的最小值。

### 解法一：均值不等式

直接应用均值不等式：

$$
x + \frac{4}{x} \geq 2\sqrt{x \cdot \frac{4}{x}} = 2\sqrt{4} = 4
$$

当且仅当 $x = \dfrac{4}{x}$，即 $x = 2$（$x > 0$）时等号成立。

最小值为 $\boldsymbol{4}$。

### 解法二：配方法

$$
x + \frac{4}{x} = \left(\sqrt{x} - \frac{2}{\sqrt{x}}\right)^2 + 4
$$

因为 $\left(\sqrt{x} - \dfrac{2}{\sqrt{x}}\right)^2 \geq 0$，所以 $x + \dfrac{4}{x} \geq 4$。

当且仅当 $\sqrt{x} = \dfrac{2}{\sqrt{x}}$，即 $x = 2$ 时取等。

最小值为 $\boldsymbol{4}$。

### 解法三：导数法

设 $f(x) = x + \dfrac{4}{x}$（$x > 0$），则

$$
f'(x) = 1 - \frac{4}{x^2}
$$

令 $f'(x) = 0$，得 $x^2 = 4$，即 $x = 2$（$x > 0$）。

当 $0 < x < 2$ 时，$f'(x) < 0$，$f(x)$ 单调递减；当 $x > 2$ 时，$f'(x) > 0$，$f(x)$ 单调递增。

故 $x = 2$ 为极小值点，也是最小值点，$f(2) = 2 + \dfrac{4}{2} = 4$。

最小值为 $\boldsymbol{4}$。

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## 习题三

### 题目

已知 $a > 0,\ b > 0$，且 $a + b = 2$，求 $ab$ 的最大值。

### 解法一：均值不等式

由均值不等式：

$$
ab \leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 = \left(\frac{2}{2}\right)^2 = 1
$$

当且仅当 $a = b = 1$ 时等号成立。

最大值为 $\boldsymbol{1}$。

### 解法二：消元法 + 二次函数

由 $a + b = 2$ 得 $b = 2 - a$，其中 $0 < a < 2$。

$$
ab = a(2-a) = -a^2 + 2a = -(a-1)^2 + 1
$$

这是开口向下的二次函数，当 $a = 1$ 时取得最大值 $1$，此时 $b = 1$。

最大值为 $\boldsymbol{1}$。

### 解法三：三角换元

设 $a = 2\cos^2\theta$，$b = 2\sin^2\theta$，其中 $\theta \in \left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)$。

$$
ab = 4\sin^2\theta\cos^2\theta = \sin^2(2\theta)
$$

因为 $\sin^2(2\theta) \leq 1$，当且仅当 $2\theta = \dfrac{\pi}{2}$，即 $\theta = \dfrac{\pi}{4}$ 时取等，此时 $a = b = 1$。

最大值为 $\boldsymbol{1}$。

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## 习题四

### 题目

已知 $x > 1$，求 $x + \dfrac{1}{x-1}$ 的最小值。

### 解法一：均值不等式（凑项）

将表达式变形为：

$$
x + \frac{1}{x-1} = (x-1) + \frac{1}{x-1} + 1
$$

因为 $x > 1$，所以 $x - 1 > 0$。由均值不等式：

$$
(x-1) + \frac{1}{x-1} \geq 2\sqrt{(x-1) \cdot \frac{1}{x-1}} = 2
$$

当且仅当 $x - 1 = \dfrac{1}{x-1}$，即 $(x-1)^2 = 1$，$x = 2$ 时等号成立。

因此 $x + \dfrac{1}{x-1} \geq 2 + 1 = 3$，最小值为 $\boldsymbol{3}$。

### 解法二：换元法

令 $t = x - 1$，则 $t > 0$，$x = t + 1$。

$$
x + \frac{1}{x-1} = t + 1 + \frac{1}{t} = \left(t + \frac{1}{t}\right) + 1
$$

由均值不等式，$t + \dfrac{1}{t} \geq 2$，当且仅当 $t = 1$ 时取等，此时 $x = 2$。

故最小值为 $2 + 1 = \boldsymbol{3}$。

### 解法三：导数法

设 $f(x) = x + \dfrac{1}{x-1}$（$x > 1$），则

$$
f'(x) = 1 - \frac{1}{(x-1)^2}
$$

令 $f'(x) = 0$，得 $(x-1)^2 = 1$，即 $x = 2$（$x > 1$）。

当 $1 < x < 2$ 时，$f'(x) < 0$；当 $x > 2$ 时，$f'(x) > 0$。

故 $x = 2$ 为最小值点，$f(2) = 2 + \dfrac{1}{2-1} = 3$。

最小值为 $\boldsymbol{3}$。

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## 习题五

### 题目

已知 $x > 0,\ y > 0$，且 $2x + y = 1$，求 $\dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{y}$ 的最小值。

### 解法一：均值不等式（"1的代换"）

$$
\frac{1}{x} + \frac{2}{y} = \left(\frac{1}{x} + \frac{2}{y}\right)(2x + y) = 2 + \frac{y}{x} + \frac{4x}{y} + 2 = 4 + \frac{y}{x} + \frac{4x}{y}
$$

由均值不等式：

$$
\frac{y}{x} + \frac{4x}{y} \geq 2\sqrt{\frac{y}{x} \cdot \frac{4x}{y}} = 2\sqrt{4} = 4
$$

当且仅当 $\dfrac{y}{x} = \dfrac{4x}{y}$，即 $y^2 = 4x^2$，结合 $x, y > 0$ 得 $y = 2x$。代入 $2x + y = 1$ 得 $4x = 1$，即 $x = \dfrac{1}{4},\ y = \dfrac{1}{2}$。

因此 $\dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{y} \geq 4 + 4 = 8$，最小值为 $\boldsymbol{8}$。

### 解法二：柯西不等式

由柯西不等式：

$$
\left(\frac{1}{x} + \frac{2}{y}\right)(2x + y) \geq \left(\sqrt{\frac{1}{x} \cdot 2x} + \sqrt{\frac{2}{y} \cdot y}\right)^2 = (\sqrt{2} + \sqrt{2})^2 = (2\sqrt{2})^2 = 8
$$

因为 $2x + y = 1$，所以 $\dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{y} \geq 8$。

等号成立条件：$\dfrac{1/x}{2x} = \dfrac{2/y}{y}$，即 $y^2 = 4x^2$，$y = 2x$，得 $x = \dfrac{1}{4},\ y = \dfrac{1}{2}$。

最小值为 $\boldsymbol{8}$。

### 解法三：消元法

由 $2x + y = 1$ 得 $y = 1 - 2x$，其中 $0 < x < \dfrac{1}{2}$。

$$
\frac{1}{x} + \frac{2}{y} = \frac{1}{x} + \frac{2}{1-2x} = \frac{1-2x + 2x}{x(1-2x)} = \frac{1}{x(1-2x)}
$$

令 $f(x) = x(1-2x) = -2x^2 + x = -2\left(x - \frac{1}{4}\right)^2 + \frac{1}{8}$。

当 $x = \dfrac{1}{4}$ 时，$f(x)$ 取得最大值 $\dfrac{1}{8}$，此时 $\dfrac{1}{f(x)}$ 取得最小值 $8$。

对应 $y = 1 - 2 \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}$。

最小值为 $\boldsymbol{8}$。

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## 方法总结

| 题目 | 解法一 | 解法二 | 解法三 | 最小值/最大值 |
|------|--------|--------|--------|---------------|
| 习题一 | 均值不等式（1的代换） | 柯西不等式 | 消元法 | 4 |
| 习题二 | 均值不等式 | 配方法 | 导数法 | 4 |
| 习题三 | 均值不等式 | 消元法+二次函数 | 三角换元 | 1（最大值） |
| 习题四 | 均值不等式（凑项） | 换元法 | 导数法 | 3 |
| 习题五 | 均值不等式（1的代换） | 柯西不等式 | 消元法 | 8 |

### 解题策略建议

1. **"1的代换"**：当条件为线性等式（如 $x + y = 1$），目标为分式和时，优先考虑将条件式乘入目标式，构造均值不等式。
2. **凑项/换元**：当目标式可变形为 $A + \dfrac{k}{A}$ 的形式时，通过凑项或换元使两项乘积为定值。
3. **柯西不等式**：当目标式与条件式可对应为柯西形式时，柯西不等式往往一步到位。
4. **导数法**：作为通用方法，适用于所有可导函数，但计算量较大，建议作为验证手段。
5. **消元法**：将二元问题化为一元问题，结合二次函数或均值不等式求解。

更多变形技巧的系统总结请参考文献 [1]。

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## 参考文献

[1] 罗逸琳. 高中常见基本不等式的变形应用[EB/OL]. 廉中自然科学局第207研究所, 2026.