高中常见基本不等式的变形应用

作者：罗逸琳

单位：廉中自然科学局第207研究所（2606班）

通讯作者：罗逸琳（yydshmcl@outlook.com）

摘要

不等式是高中数学的重要组成部分，也是高考与竞赛中的高频考点。基本不等式看似形式简单，但其变形方式灵活多样，往往是解题的关键所在。本文系统梳理了高中阶段几种常见基本不等式——包括完全平方不等式、均值不等式（AM-GM）、柯西不等式、三角不等式与排序不等式——的标准形式与取等条件，并重点讨论它们的变形应用技巧。通过”1的代换”“凑项凑系数”“分离常数”“换元转化”“与函数结合”等典型方法的例题分析，揭示基本不等式变形应用的内在规律，为高中数学学习者提供系统的解题思路与方法参考。

关键词：基本不等式；均值不等式；柯西不等式；变形技巧；最值问题

1. 引言

不等式贯穿于高中数学的各个模块，从函数的定义域与值域、数列的极限，到解析几何中的距离与范围问题，不等式都扮演着不可或缺的角色。其中，基本不等式由于其形式简洁、应用广泛，成为了不等式学习中的核心内容。

然而，在实际解题中，直接套用基本不等式的标准形式往往难以奏效，题目通常需要对已知条件进行适当的变形，使之满足基本不等式的使用条件。这种”变形”能力正是许多学生感到困难的地方。

本文旨在系统总结高中常见基本不等式的变形方法，通过典型例题展示各种变形技巧的应用场景与操作步骤，帮助读者建立起”条件—变形—应用”的解题思维链。

2. 几种常见基本不等式

2.1 完全平方不等式

完全平方不等式是最基本的不等式，其形式为：

\[ a^2 + b^2 \geq 2ab \tag{1} \]

其中 \(a, b \in \mathbb{R}\)，当且仅当 \(a = b\) 时取等号。

推论：由 (1) 可得 \((a+b)^2 \geq 4ab\)，即 \(ab \leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2\)。

完全平方不等式的本质是 \((a-b)^2 \geq 0\)，它是所有不等式的基础。

2.2 均值不等式（AM-GM）

对于正实数 \(a_1, a_2, \ldots, a_n\)，算术平均数不小于几何平均数：

\[ \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n} \tag{2} \]

当且仅当 \(a_1 = a_2 = \cdots = a_n\) 时取等号。

高中阶段最常用的是二元和三元形式：

二元：\(\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \quad (a, b > 0)\)
三元：\(\frac{a+b+c}{3} \geq \sqrt[3]{abc} \quad (a, b, c > 0)\)

均值不等式的使用需满足”一正、二定、三相等”三个条件。

2.3 柯西不等式

柯西不等式的标准形式为：

\[ (a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2) \geq (a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n)^2 \tag{3} \]

当且仅当 \(\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \cdots = \frac{a_n}{b_n}\)（\(b_i \neq 0\)）时取等号。

二元形式：\((a^2 + b^2)(c^2 + d^2) \geq (ac + bd)^2\)。

柯西不等式的核心思想是”平方和的乘积不小于乘积和的平方”，在处理含平方项与交叉项的问题时极为有效。

2.4 三角不等式

对于任意实数 \(a, b\)：

\[ |a| - |b| \leq |a \pm b| \leq |a| + |b| \tag{4} \]

右侧当且仅当 \(ab \geq 0\)（取加号）或 \(ab \leq 0\)（取减号）时取等号。

三角不等式在处理含绝对值的最值与证明问题中有着重要应用。

2.5 排序不等式

设 \(a_1 \leq a_2 \leq \cdots \leq a_n\)，\(b_1 \leq b_2 \leq \cdots \leq b_n\)，则：

\[ \sum_{i=1}^{n} a_i b_{n+1-i} \leq \sum_{i=1}^{n} a_i b_{j_i} \leq \sum_{i=1}^{n} a_i b_i \tag{5} \]

即”逆序和 \(\leq\) 乱序和 \(\leq\) 顺序和”。

排序不等式在处理多变量对称不等式与比较大小时有独特优势。

3. 基本不等式的变形技巧

3.1 “1的代换”

“1的代换”是均值不等式中最经典的变形技巧。当已知条件中存在和为定值（如 \(a + b = 1\)），而目标式为分式求和时，将目标式乘以”1”（即已知条件的和），展开后即可使用均值不等式。

例题 1：已知 \(a > 0, b > 0\)，且 \(a + b = 1\)，求 \(\frac{1}{a} + \frac{4}{b}\) 的最小值。

解：

\[ \begin{align*} \frac{1}{a} + \frac{4}{b} &= \left(\frac{1}{a} + \frac{4}{b}\right)(a + b) \\ &= 1 + \frac{b}{a} + \frac{4a}{b} + 4 \\ &= 5 + \frac{b}{a} + \frac{4a}{b} \\ &\geq 5 + 2\sqrt{\frac{b}{a} \cdot \frac{4a}{b}} \\ &= 5 + 2 \times 2 = 9 \end{align*} \]

当且仅当 \(\frac{b}{a} = \frac{4a}{b}\)，即 \(b = 2a\)，结合 \(a + b = 1\) 得 \(a = \frac{1}{3}, b = \frac{2}{3}\) 时取等号。

故最小值为 \(\boxed{9}\)。

点评：本题的关键在于将 \((a+b)\) 这个”1”乘到目标式上，构造出可用均值不等式的 \(\frac{b}{a} + \frac{4a}{b}\) 形式。

3.2 凑项与凑系数

当目标式与基本不等式的形式存在差异时，通过添加或拆分项、调整系数，使之满足”和为定值”或”积为定值”的条件。

例题 2：已知 \(x > \frac{1}{2}\)，求函数 \(f(x) = 4x - 2 + \frac{1}{4x-2}\) 的最小值。

解：令 \(t = 4x - 2\)，由 \(x > \frac{1}{2}\) 知 \(t > 0\)。

\[ f(x) = t + \frac{1}{t} \geq 2\sqrt{t \cdot \frac{1}{t}} = 2 \]

当且仅当 \(t = \frac{1}{t}\)，即 \(t = 1\)，\(4x - 2 = 1\)，\(x = \frac{3}{4}\) 时取等号。

故最小值为 \(\boxed{2}\)。

点评：本题通过换元将 \(4x-2\) 视为整体，直接使用 \(t + \frac{1}{t} \geq 2\)。换元本质上是一种”凑项”，使复杂表达式简化为标准形式。

例题 3：已知 \(0 < x < \frac{1}{3}\)，求 \(y = x(1-3x)\) 的最大值。

解：

\[ y = x(1-3x) = \frac{1}{3} \cdot 3x(1-3x) \]

由 \(0 < x < \frac{1}{3}\) 知 \(3x > 0\)，\(1-3x > 0\)，且 \(3x + (1-3x) = 1\) 为定值。

\[ 3x(1-3x) \leq \left(\frac{3x + 1 - 3x}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \]

\[ y \leq \frac{1}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{12} \]

当且仅当 \(3x = 1-3x\)，即 \(x = \frac{1}{6}\) 时取等号。

故最大值为 \(\boxed{\frac{1}{12}}\)。

点评：本题的关键是”凑系数”——将 \(x\) 改写为 \(\frac{1}{3} \cdot 3x\)，使 \(3x\) 与 \((1-3x)\) 的和为定值 1，从而满足均值不等式的使用条件。

3.3 分离常数

当目标式为分子分母均含变量的分式时，通过分离常数将其转化为”整式 + 分式”的形式，再使用基本不等式。

例题 4：已知 \(x > -1\)，求 \(y = \frac{x^2 + 3x + 3}{x+1}\) 的最小值。

解：

\[ \begin{align*} y &= \frac{x^2 + 3x + 3}{x+1} \\ &= \frac{(x+1)^2 + (x+1) + 1}{x+1} \\ &= (x+1) + 1 + \frac{1}{x+1} \end{align*} \]

由 \(x > -1\) 知 \(x+1 > 0\)，令 \(t = x+1 > 0\)：

\[ y = t + \frac{1}{t} + 1 \geq 2\sqrt{t \cdot \frac{1}{t}} + 1 = 3 \]

当且仅当 \(t = \frac{1}{t}\)，即 \(t = 1\)，\(x = 0\) 时取等号。

故最小值为 \(\boxed{3}\)。

点评：分离常数的核心是将分子配凑为含分母的多项式，从而拆分出整式部分。本题中将 \(x^2+3x+3\) 配为 \((x+1)^2 + (x+1) + 1\)，是关键步骤。

3.4 柯西不等式的变形应用

柯西不等式的变形极为丰富，常见的有以下几种形式：

变形一（分式型）：

\[ \frac{a_1^2}{b_1} + \frac{a_2^2}{b_2} + \cdots + \frac{a_n^2}{b_n} \geq \frac{(a_1 + a_2 + \cdots + a_n)^2}{b_1 + b_2 + \cdots + b_n} \quad (b_i > 0) \tag{6} \]

这是柯西不等式最常用的变形，称为”柯西分式不等式”或”Titu引理”。

例题 5：已知 \(a, b, c > 0\)，且 \(a + b + c = 1\)，求证：

\[ \frac{a^2}{a+b} + \frac{b^2}{b+c} + \frac{c^2}{c+a} \geq \frac{1}{2} \]

证明：由柯西分式不等式 (6)：

\[ \frac{a^2}{a+b} + \frac{b^2}{b+c} + \frac{c^2}{c+a} \geq \frac{(a+b+c)^2}{(a+b)+(b+c)+(c+a)} = \frac{1}{2(a+b+c)} = \frac{1}{2} \]

当且仅当 \(\frac{a}{a+b} = \frac{b}{b+c} = \frac{c}{c+a}\)，即 \(a = b = c = \frac{1}{3}\) 时取等号。

故原不等式成立。\(\blacksquare\)

变形二（向量型）：

设 \(\vec{a} = (a_1, a_2, \ldots, a_n)\)，\(\vec{b} = (b_1, b_2, \ldots, b_n)\)，则 \(|\vec{a} \cdot \vec{b}| \leq |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|\)，即柯西不等式的向量形式。

例题 6：求函数 \(y = 3\sqrt{x-1} + 4\sqrt{5-x}\) 的最大值。

解：函数定义域为 \([1, 5]\)。设 \(\vec{a} = (3, 4)\)，\(\vec{b} = (\sqrt{x-1}, \sqrt{5-x})\)，则：

\[ y = \vec{a} \cdot \vec{b} \leq |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| = \sqrt{3^2+4^2} \cdot \sqrt{(x-1)+(5-x)} = 5 \times 2 = 10 \]

当且仅当 \(\vec{a}\) 与 \(\vec{b}\) 同向，即 \(\frac{\sqrt{x-1}}{3} = \frac{\sqrt{5-x}}{4}\)，解得 \(x = \frac{61}{25} \in [1,5]\) 时取等号。

故最大值为 \(\boxed{10}\)。

点评：将目标式视为两个向量的内积，利用柯西不等式的向量形式一步到位。关键在于构造合适的向量，使其中一个向量的模为定值。

3.5 与函数单调性结合

当基本不等式的取等条件不在定义域内时，需结合函数的单调性求解。

例题 7：求函数 \(f(x) = x + \frac{1}{x}\) 在 \(x \in [2, +\infty)\) 上的最小值。

分析：由均值不等式，\(x + \frac{1}{x} \geq 2\)，取等条件为 \(x = 1\)。但 \(1 \notin [2, +\infty)\)，故等号取不到，需用单调性。

解：\(f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2}\)。当 \(x \geq 2\) 时，\(f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2} \geq 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} > 0\)，故 \(f(x)\) 在 \([2, +\infty)\) 上单调递增。

\[ f(x)_{\min} = f(2) = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2} \]

故最小值为 \(\boxed{\frac{5}{2}}\)。

点评：使用基本不等式求最值时，必须验证取等条件是否在定义域内。若不在，则基本不等式只能给出下界（不一定能取到），需改用单调性或其他方法。

3.6 多次使用基本不等式

某些复杂问题需要多次使用基本不等式，此时需特别注意各次取等条件的一致性。

例题 8：已知 \(a, b > 0\)，求 \(\left(a + \frac{1}{a}\right)\left(b + \frac{1}{b}\right)\) 的最小值，其中 \(a + b = 1\)。

解：

\[ \begin{align*} \left(a + \frac{1}{a}\right)\left(b + \frac{1}{b}\right) &= ab + \frac{a}{b} + \frac{b}{a} + \frac{1}{ab} \\ &= ab + \frac{1}{ab} + \frac{a^2 + b^2}{ab} \\ &= ab + \frac{1}{ab} + \frac{(a+b)^2 - 2ab}{ab} \\ &= ab + \frac{1}{ab} + \frac{1}{ab} - 2 \\ &= ab + \frac{2}{ab} - 2 \end{align*} \]

由 \(a + b = 1\)，\(ab \leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\)，即 \(0 < ab \leq \frac{1}{4}\)。

令 \(t = ab \in (0, \frac{1}{4}]\)，则 \(g(t) = t + \frac{2}{t} - 2\)。

\(g'(t) = 1 - \frac{2}{t^2} < 0\) 对 \(t \in (0, \frac{1}{4}]\) 恒成立，故 \(g(t)\) 在 \((0, \frac{1}{4}]\) 上单调递减。

\[ g(t)_{\min} = g\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{4} + 8 - 2 = \frac{25}{4} \]

当且仅当 \(a = b = \frac{1}{2}\) 时取等号。

故最小值为 \(\boxed{\frac{25}{4}}\)。

点评：本题先展开化简，再利用 \(a+b=1\) 消元，将问题转化为单变量函数。注意此处不能直接对 \(ab + \frac{2}{ab}\) 使用均值不等式（取等条件 \(ab = \sqrt{2}\) 超出范围），需结合单调性。

4. 综合应用

4.1 证明不等式

例题 9：已知 \(a, b, c > 0\)，求证：

\[ \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2} \]

（Nesbitt 不等式）

证明：方法一（柯西分式不等式）：

\[ \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} = \frac{a^2}{a(b+c)} + \frac{b^2}{b(c+a)} + \frac{c^2}{c(a+b)} \geq \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)} \]

又 \((a+b+c)^2 \geq 3(ab+bc+ca)\)，故：

\[ \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)} \geq \frac{3(ab+bc+ca)}{2(ab+bc+ca)} = \frac{3}{2} \]

当且仅当 \(a = b = c\) 时取等号。\(\blacksquare\)

方法二（排序不等式）：不妨设 \(a \geq b \geq c > 0\)，则 \(b+c \leq c+a \leq a+b\)，即 \(\frac{1}{b+c} \geq \frac{1}{c+a} \geq \frac{1}{a+b}\)。

由排序不等式，顺序和最大：

\[ S = \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} \]

\[ S \geq \frac{b}{b+c} + \frac{c}{c+a} + \frac{a}{a+b} \]

\[ S \geq \frac{c}{b+c} + \frac{a}{c+a} + \frac{b}{a+b} \]

三式相加：

\[ 3S \geq \frac{a+b+c}{b+c} + \frac{a+b+c}{c+a} + \frac{a+b+c}{a+b} - 3 + 3 \]

化简即得 \(S \geq \frac{3}{2}\)。\(\blacksquare\)

4.2 求参数范围

例题 10：已知不等式 \(x + \frac{a}{x} \geq 4\) 对一切 \(x \in (0, +\infty)\) 恒成立，求实数 \(a\) 的取值范围。

解：当 \(a \leq 0\) 时，\(x + \frac{a}{x}\) 在 \(x \to 0^+\) 时趋于 \(-\infty\)，不满足条件。

当 \(a > 0\) 时，由均值不等式：

\[ x + \frac{a}{x} \geq 2\sqrt{x \cdot \frac{a}{x}} = 2\sqrt{a} \]

当且仅当 \(x = \sqrt{a}\) 时取等号。

要使不等式恒成立，需 \(2\sqrt{a} \geq 4\)，即 \(\sqrt{a} \geq 2\)，\(a \geq 4\)。

故 \(a\) 的取值范围为 \(\boxed{[4, +\infty)}\)。

5. 变形技巧总结

通过以上例题分析，可将基本不等式变形应用的常用技巧总结如下：

技巧	适用场景	关键操作
1的代换	已知和为定值，目标为分式和	乘以”1”后展开
凑项	目标式与标准形式差常数项	加减常数项配凑
凑系数	积不为定值，需调整系数	乘除常数使和/积为定值
分离常数	分子分母均含变量的分式	分子配凑为含分母的多项式
换元	表达式复杂，含重复结构	令重复部分为新变量
柯西变形	含平方和与乘积和	构造柯西形式（分式型/向量型）
单调性结合	取等条件不在定义域内	求导判断单调性，取端点值
多次使用	复杂多变量问题	逐步化简，注意取等条件一致性

解题思维链：

审题：明确已知条件与目标式，判断变量范围
选式：根据目标式结构选择合适的基本不等式
变形：运用上述技巧将目标式转化为标准形式
验证：检查”一正二定三相等”，确认取等条件可达
结论：给出最值或证明结论

6. 注意事项

取等条件：使用基本不等式求最值时，必须验证等号能否取到。若取等条件不在定义域内，需改用单调性等方法。
多次使用：多次使用基本不等式时，各次取等条件必须一致，否则最终等号无法同时取到。
符号问题：均值不等式要求变量为正，若变量为负，需先取绝对值或换元。
定值条件：均值不等式要求”和为定值”或”积为定值”，变形的核心就是构造定值。
柯西的方向：柯西不等式给出的是下界（平方和乘积 \(\geq\) 乘积和平方），注意目标式的方向是否匹配。

7. 结论

基本不等式的变形应用是高中数学不等式模块的核心能力。本文系统讨论了完全平方不等式、均值不等式、柯西不等式、三角不等式与排序不等式的标准形式，并通过典型例题展示了”1的代换”“凑项凑系数”“分离常数”“换元”“柯西变形”“单调性结合”等变形技巧的应用。

掌握基本不等式变形应用的关键在于：一是熟悉各种基本不等式的形式与取等条件，二是积累变形技巧并能根据题目特征灵活选用，三是养成验证取等条件的良好习惯。通过大量练习与总结归纳，读者定能熟练掌握基本不等式的变形应用，在高中数学学习与考试中得心应手。

致谢

感谢陈益达长官在研究方向上的指导，感谢张铭业工程师在理论验证方面的帮助，感谢207研究所全体成员的讨论与建议。

参考文献

[1] 人民教育出版社. 普通高中教科书·数学（必修第一册）[M]. 北京: 人民教育出版社, 2019.

[2] 人民教育出版社. 普通高中教科书·数学（选择性必修第二册）[M]. 北京: 人民教育出版社, 2020.

[3] 华罗庚. 数学归纳法[M]. 北京: 科学出版社, 2002.

[4] 陈计, 季潮丞. 代数不等式[M]. 上海: 上海科技教育出版社, 2009.

[5] Nesbitt A M. Problem 15114[J]. Educational Times, 1903, 56: 67.

[6] Cauchy A L. Cours d’analyse de l’École Royale Polytechnique[M]. Paris: Debure frères, 1821.

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